Aniks-lift.ru

Подъемное оборудование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Приведите примеры использования потенциальной энергии деформированных пружин

Приведите примеры использования потенциальной энергии деформированных пружин?

Приведите примеры использования потенциальной энергии деформированных пружин.

Закрывание дверей : потенциальная энергия упруго деформированной пружины (дверь открыта) превращается в кинетическую ( дверь закрывается и изменяет свою скорость) полная энергия системы неизменна и равна сумме кинетической энергии двери и потенциальной энергии пружины.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

  • m — масса тела;
  • k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

    Сочетание тела и пружины.

Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Формула томсона для пружинного маятника Формула томсона для пружинного маятника Формула томсона для пружинного маятника

Работа силы упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Рас­смот­рим про­стую си­сте­му: мас­сив­ный груз, при­креп­лен­ный к пру­жине (см. рис. 1).

Груз, при­креп­лен­ный к пру­жине

Рис. 1. Груз, при­креп­лен­ный к пру­жине

Пусть из­на­чаль­но си­сте­ма на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии рав­но­ве­сия, то есть пру­жи­на не де­фор­ми­ро­ван­ная, и груз по­ко­ит­ся. Вы­ве­дем эту си­сте­му из рав­но­ве­сия и сде­ла­ем так, чтобы пру­жи­на стала в сжа­том со­сто­я­нии (см. рис. 2).

Си­сте­ма вы­ве­де­на из рав­но­ве­сия

Рис. 2. Си­сте­ма вы­ве­де­на из рав­но­ве­сия

Если на­пра­вить ось ОХ так, как по­ка­за­но на рис. 2, и рас­по­ло­жить на­ча­ло ко­ор­ди­нат там, где до на­ча­ла сжа­тия был рас­по­ло­жен центр груза, то про­ек­цию воз­ни­ка­ю­щей силы упру­го­сти на нашу ось ОХ можно за­пи­сать в виде:

Читайте так же:
Лазер для гравировки своими руками

где k – жест­кость пру­жи­ны, ве­ли­чи­на де­фор­ма­ции пру­жи­ны. Если предо­ста­вить пру­жи­ну самой себе, то груз будет сме­щать­ся влево, при этом сила упру­го­сти будет со­вер­шать ра­бо­ту. Пред­по­ло­жим, что левый конец пру­жи­ны вме­сте с гру­зом пе­ре­ме­стил­ся из по­ло­же­ния А в по­ло­же­ние В (см. рис. 3).

Пе­ре­ме­ще­ние груза

Рис. 3. Пе­ре­ме­ще­ние груза

В этом по­ло­же­нии де­фор­ма­ция пру­жи­ны равна уже не , а . А пе­ре­ме­ще­ние конца пру­жи­ны и од­но­вре­мен­но пе­ре­ме­ще­ние цен­тра груза равно раз­но­сти ко­ор­ди­нат . По­пы­та­ем­ся вы­чис­лить ра­бо­ту силы упру­го­сти, со­вер­шен­ную при таком дви­же­нии груза.

Вычисление работы силы упругости

Груз со­вер­шил из­вест­ное пе­ре­ме­ще­ние, ве­ли­чи­ну силы упру­го­сти мы также знаем, век­то­ры пе­ре­ме­ще­ния и силы упру­го­сти па­рал­лель­ны. Ка­за­лось бы, все ясно – нужно умно­жить ве­ли­чи­ну силы на ве­ли­чи­ну пе­ре­ме­ще­ния и по­лу­чить зна­че­ние ра­бо­ты. Од­на­ко здесь не все так про­сто – раз­бе­рем­ся по­че­му.

О чем нам го­во­рит фор­му­ла, ко­то­рая вы­ра­жа­ет ве­ли­чи­ну силы упру­го­сти? О том, что сила упру­го­сти – ве­ли­чи­на не по­сто­ян­ная, она ме­ня­ет­ся по мере пе­ре­ме­ще­ния груза. И дей­стви­тель­но, ве­ли­чи­на этой силы, как мы видим из фор­му­лы, за­ви­сит от ко­ор­ди­на­ты цен­тра груза. Фор­му­ла же для ра­бо­ты силы, ко­то­рую мы при­ме­ня­ли рань­ше, спра­вед­ли­ва лишь в том слу­чае, если сила не ме­ня­ет свою ве­ли­чи­ну по мере дви­же­ния. Как же тогда быть? Один из ва­ри­ан­тов вы­хо­да из дан­ной си­ту­а­ции мог бы со­сто­ять в том, что мы при­ме­ним такой же метод, ко­то­рый при­ме­нял­ся нами ранее в раз­де­ле ки­не­ма­ти­ка при рас­че­те пе­ре­ме­ще­ния тела, дви­жу­ще­го­ся рав­но­уско­рен­но.

Можно всю тра­ек­то­рию дви­же­ния груза раз­бить на очень ма­лень­кие участ­ки (участ­ки, в пре­де­лах ко­то­рых силу упру­го­сти можно счи­тать прак­ти­че­ски по­сто­ян­ной). Далее в пре­де­лах каж­до­го та­ко­го участ­ка мы можем рас­счи­тать ра­бо­ту силы упру­го­сти ввиду ее прак­ти­че­ско­го по­сто­ян­ства. Затем ра­бо­та на всей об­ла­сти дви­же­ния груза будет скла­ды­вать­ся из всех этих ма­лень­ких работ на этих участ­ках. Таким об­ра­зом, мы смо­жем по­счи­тать ра­бо­ту силы упру­го­сти на всей тра­ек­то­рии дви­же­ния груза. На рис. 4 при­ве­де­ны де­та­ли та­ко­го рас­че­та.

Читайте так же:
Как правильно заправить степлер скобами

За­ви­си­мость силы упру­го­сти от ко­ор­ди­на­ты дви­же­ния

Рис. 4. За­ви­си­мость силы упру­го­сти от ко­ор­ди­на­ты дви­же­ния

Видно, что если от­ло­жить на гра­фи­ке за­ви­си­мость мо­ду­ля силы упру­го­сти от мо­ду­ля ко­ор­ди­на­ты груза, затем про­де­лать опи­сан­ное выше раз­би­е­ние на ма­лень­кие участ­ки, то ве­ли­чи­на ра­бо­ты на каж­дом ма­лень­ком участ­ке чис­лен­но равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком: осью абс­цисс и двумя пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к этой оси (см. рис. 5).

Пло­щадь фи­гу­ры

Рис. 5. Пло­щадь фи­гу­ры

Если про­сум­ми­ро­вать зна­че­ние ра­бо­ты на каж­дом участ­ке (пло­щадь ма­лень­ких фигур), то по­лу­чим пло­щадь боль­шой фи­гу­ры, по­ка­зан­ной на рис. 6.

Пло­щадь боль­шой фи­гу­ры

Рис. 6. Пло­щадь боль­шой фи­гу­ры

По­сколь­ку дан­ная фи­гу­ра яв­ля­ет­ся пря­мо­ли­ней­ной тра­пе­ци­ей, то мы можем вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой для рас­че­та пло­ща­ди такой фи­гу­ры – это по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, умно­жен­ная на вы­со­ту. В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим такую фор­му­лу – ра­бо­та равна раз­но­сти между ве­ли­чи­ной:

К этому ре­зуль­та­ту можно прий­ти и несколь­ко иным спо­со­бом. Для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты силы упру­го­сти в этом спо­со­бе необ­хо­ди­мо про­сто взять сред­нее зна­че­ние силы упру­го­сти и умно­жить его на пе­ре­ме­ще­ние тела. Это утвер­жде­ние можно за­пи­сать как:

где сред­нее зна­че­ние силы упру­го­сти, ко­то­рое равно по­лу­сум­ме на­чаль­но­го и ко­неч­но­го ее зна­че­ний. Если дан­ное вы­ра­же­ние под­ста­вить в фор­му­лу для ра­бо­ты, то при по­мо­щи про­стых ал­геб­ра­и­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний мы по­лу­чим то же самое вы­ра­же­ние, что по­лу­ча­ли ранее:

Как видно из этой фор­му­лы, ра­бо­та за­ви­сит лишь от на­чаль­ной и ко­неч­ной ко­ор­ди­на­ты цен­тра груза, и еще одно за­ме­ча­ние: как видно из по­след­ней фор­му­лы, ра­бо­та силы упру­го­сти ни­ко­им об­ра­зом не за­ви­сит от массы груза. Это обу­слов­ле­но тем, что и сама сила упру­го­сти не за­ви­сит от этой массы.

Те­перь вни­ма­тель­нее по­смот­рим на по­след­нюю фор­му­лу – если вы­не­сти -1 за скоб­ки, то по­лу­чим, что ра­бо­та есть взя­тая со зна­ком минус раз­ность между зна­че­ни­я­ми неко­то­рой ве­ли­чи­ны, рав­ной по­ло­вине про­из­ве­де­ния жест­ко­сти пру­жи­ны на квад­рат ее удли­не­ния в ко­неч­ный и на­чаль­ный мо­мен­ты вре­ме­ни.

Читайте так же:
Как сплести из резинок чехол для ручки

Вспом­ним, как мы по­сту­пи­ли при рас­че­те ра­бо­ты силы тя­же­сти на про­шлом уроке. В тот раз мы столк­ну­лись с новой для нас фи­зи­че­ской ве­ли­чи­ной, раз­ность между зна­че­ни­я­ми ко­то­рой в ко­неч­ной и на­чаль­ной мо­мен­ты вре­ме­ни рав­ня­лась взя­той со зна­ком « — » ра­бо­те силы тя­же­сти. Это ве­ли­чи­на, рав­ная про­из­ве­де­нию массы тела на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния и вы­со­ту, на ко­то­рую было под­ня­то тело над неко­то­рым уров­нем, мы на­зва­ли по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей тела, под­ня­то­го над зем­лей.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Здесь по­сту­пим ана­ло­гич­ным об­ра­зом. Ве­ли­чи­ну, рав­ную по­ло­вине про­из­ве­де­ния жест­ко­сти пру­жи­ны на квад­рат ее удли­не­ния, на­зо­вем по­тен­ци­аль­ной энер­ги­ей де­фор­ми­ро­ван­ной пру­жи­ны. Мы имеем право это сде­лать, по­сколь­ку из­ме­не­ние дан­ной ве­ли­чи­ны, взя­той с об­рат­ным зна­ком, равно ра­бо­те силы упру­го­сти. Те­перь фор­му­лу для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты силы упру­го­сти можно озву­чить по-дру­го­му: ра­бо­та силы упру­го­сти равна из­ме­не­нию по­тен­ци­аль­ной энер­гии упру­го де­фор­ми­ро­ван­но­го тела (пру­жи­ны), взя­то­му с об­рат­ным зна­ком:

Ра­бо­та силы упру­го­сти, как и ра­бо­та силы тя­же­сти, за­ви­сит толь­ко от на­чаль­но­го и ко­неч­но­го по­ло­же­ния цен­тра груза – это озна­ча­ет, что ра­бо­та силы упру­го­сти не за­ви­сит от формы тра­ек­то­рии груза, а в том слу­чае, когда тра­ек­то­рия яв­ля­ет­ся за­мкну­той, ра­бо­та силы упру­го­сти равна 0.

Если за на­ча­ло от­сче­та при­нять по­ло­же­ние груза при неде­фор­ми­ро­ван­ной пру­жине, а после при­нять, что удли­не­ние пру­жи­ны равно (см. рис. 7), то фор­му­ла для ра­бо­ты силы упру­го­сти при­об­ре­та­ет вид:

Вы­чис­ле­ние ра­бо­ты силы упру­го­сти

Рис. 7. Вы­чис­ле­ние ра­бо­ты силы упру­го­сти

Но – это по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны при ее удли­не­нии на ве­ли­чи­ну , сле­до­ва­тель­но, по­тен­ци­аль­ная энер­гия упру­го де­фор­ми­ро­ван­но­го тела равна ра­бо­те силы упру­го­сти при пе­ре­хо­де тела (пру­жи­ны) в со­сто­я­ние, в ко­то­ром его де­фор­ма­ция равна 0.

Когда мы опи­сы­ва­ли по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, под­ня­то­го над зем­лей, мы го­во­ри­ли, что по­тен­ци­аль­ная энер­гия – это энер­гия вза­и­мо­дей­ствия тел и в том слу­чае это была энер­гия вза­и­мо­дей­ствия двух тел – груза и земли. Что ка­са­ет­ся силы упру­го­сти, то о ней можно ска­зать почти то же самое – это тоже энер­гия вза­и­мо­дей­ствия, од­на­ко те­перь это энер­гия вза­и­мо­дей­ствия не раз­лич­ных тел, а ча­стей од­но­го и того же тела – в нашем слу­чае это энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ча­стей пру­жи­ны.

Читайте так же:
Как правильно нарезать резьбу плашкой вручную

Те­перь рас­смот­рим за­да­чу.

Задача

Ди­на­мо­метр, рас­счи­тан­ный на 40 Н, имеет пру­жи­ну жест­ко­стью 500 . Какую ра­бо­ту нужно со­вер­шить, чтобы рас­тя­нуть пру­жи­ну от се­ре­ди­ны шкалы до по­след­не­го де­ле­ния?

В усло­вии нам не дано зна­че­ний удли­не­ния пру­жи­ны ди­на­мо­мет­ра, по­это­му вве­дем его сами. Пусть удли­не­ние пру­жи­ны на се­ре­дине шкалы равно (см. рис. 8).

Удли­не­ние шкалы

Рис. 8. Удли­не­ние шкалы

Сле­до­ва­тель­но, когда пру­жи­на рас­тя­ну­та с мак­си­маль­ной силой, то удли­не­ние равно . Вос­поль­зу­ем­ся для по­след­не­го слу­чая за­ко­ном Гука, по­сколь­ку мы знаем зна­че­ние мак­си­маль­ной силы и жест­ко­сти пру­жи­ны.

Сле­до­ва­тель­но, нам необ­хо­ди­мо рас­счи­тать ра­бо­ту при удли­не­нии от 4 см до 8 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой, по­лу­чен­ной на уроке:

Ра­бо­та равна раз­но­сти между зна­че­ни­я­ми по­тен­ци­аль­ной энер­гии пру­жи­ны, рас­тя­ну­той до пол­но­го удли­не­ния и до пол­ви­ны.

Те­перь мы с вами можем рас­счи­ты­вать по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, под­ня­то­го над зем­лей, и по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела, ко­то­рое ис­пы­ты­ва­ет упру­гую де­фор­ма­цию.

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:

\[E_p=\frac{E{\varepsilon }^2}{2}V\  \qquad (2)\]

где E– модуль Юнга; \varepsilon– относительное удлинение; V– объем стержня. Для однородного стержня при равномерной его деформации плотность энергии упругой деформации можно найти как:

\[e_p=\frac{dE_p}{dV}=\frac{E{\varepsilon }^2}{2} \qquad (3)\]

Если деформация стержня является неравномерной, то при использовании формулы (3) для поиска энергии в точке стержня в эту формулу подставляют значение \varepsilonдля рассматриваемой точки.

Плотность энергии упругой деформации при сдвиге находят, используя выражение:

\[e_p=\frac{G{\gamma }^2}{2} \qquad (4)\]

где G– модуль сдвига; \gamma– относительный сдвиг.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

где w — радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Читайте так же:
Картофеля копалка для мотоблока своими руками

Пружинный маятник - формулы и уравнения нахождения величин

Потенциальная энергия упругой деформации

Рассмотрим пружинный маятник, а точку х=0 будем считать нулем. Работа по перемещению груза, прикрепленного к пружине, определяется формулой: $A= int_0^x kxdx = <1 over 2>kx^2$, где kx – сила упругости. В общем случае работа – всегда интеграл. Выражение $<1 over 2>kx^2$ называют потенциальной энергией упругой деформации, и зависит оно только от положения груза относительно нулевой точки и не зависит от периода изменения.

Изменение энергии пружинного маятника

Рис. 3. Изменение энергии пружинного маятника.

Для обоих рассмотренных случаев (работа в поле силы тяжести и работа упругой деформации) общим является одно: если тело, начав движение в начальной точке, в конце концов вернулось в нее же, то общая работа равна нулю.

По этому правилу легко проверить, консервативная сила или нет. К консервативным, помимо упомянутых, относится также сила кулоновского взаимодействия.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы пружинного маятника, пример 1

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector