Aniks-lift.ru

Подъемное оборудование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

6. 6. Потенциальная энергия

§ 6.6. Потенциальная энергия

Рассмотрим вначале работу внутренних сил системы, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня. При небольших расстояниях от поверхности Земли эту силу можно считать постоянной и равной:

Сила, действующая на камень, направлена вертикально вниз. Вычислим работу этой силы при перемещении камня вверх вдоль прямой ВС (рис. 6.9).

Начальная точка В находится на высоте h1 над Землей, а конечная точка С — на высоте h2. Ось Y направим вертикально вверх, а ось X вдоль поверхности Земли. Работа

При движении камня вверх сила тяжести совершает отрицательную работу. Если бы камень двигался вниз, то работа была бы положительной.

Работой силы, действующей на Землю со стороны камня, можно пренебречь, так как перемещение Земли ничтожно мало из-за ее огромной массы(1).

Итак, работу силы тяжести можно представить в виде разности двух значений величины, зависящей от взаимного расположения тела и Земли.

Величину, равную произведению массы т тела на ускорение свободного падения g и высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной(2) энергией взаимодействия тела и Земли. Обозначим потенциальную энергию через Еp:

С учетом (6.6.3) выражение для работы (6.6.2) запишется так:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Когда сила тяжести совершает отрицательную работу, то потенциальная энергия увеличивается: Еp2 > Еp1, При совершении положительной работы потенциальная энергия, напротив, уменьшается:

Из выражения (6.6.2) видно, что работа силы тяжести определяется лишь изменением высоты h2 — h1 тела над поверхностью Земли, но не зависит от перемещения его в горизонтальном направлении. Это справедливо не только для работы при перемещении тела вдоль прямой, но и для работы на произвольном участке пути. В самом деле, если тело перемещается вдоль кривой ВС из точки, находящейся над землей на высоте h1, в точку, лежащую на высоте h2 (рис. 6.10), то работа вдоль этой кривой равна работе вдоль ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков малой длины. На горизонтальных отрезках работа равна нулю, а сумма работ на вертикальных отрезках равна работе на вертикальной прямой длиной h2 — h1. Поэтому работа по-прежнему будет выражаться формулой (6.6.2).

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. На замкнутой траектории работа равна нулю, так как изменение потенциальной энергии при этом равно нулю.

Именно независимость работы силы тяжести от формы траектории, по которой перемещается тело, позволяет ввести понятие потенциальной энергии.

Работа силы упругости

Вычислим работу, которую совершает растянутая пружина при перемещении прикрепленного к ней тела.

На рисунке 6.11, а показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Если пружина растянута (рис. 6.11, б), то она действует на шар с силой 1 направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Начало отсчета оси X совместим с концом пружины в нерастянутом состоянии.

Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой х1 в точку с координатой х2. Из рисунка 6.11, в видно, что модуль перемещения |Δ| = х1 — х2.

При деформации пружины сила упругости изменяется линейно с изменением координаты: F = k|x|. Для вычисления работы воспользуемся графиком зависимости силы от координаты шара (рис. 6.12). Как было показано в § 6.2, работу силы упругости при перемещении |Δ| = х1 — х2 можно считать численно равной площади трапеции BCDM. Обозначив через F1 модуль силы упругости в начальном положении шара, а через F2 — в конечном, получим

Величину можно рассматривать как среднее значение силы, действующей на шар. При линейной зависимости силы от расстояния это среднее значение равно полусумме начального и конечного значений силы.

Теперь рассмотрим два тела, соединенных пружиной и лежащих на гладкой горизонтальной поверхности. Будем считать для простоты, что тела могут перемещаться только вдоль прямой, совпадающей с осью пружины. Модули сил, с которыми взаимодействуют тела, равны:

где l — расстояние между телами, а l — длина пружины в нерастянутом состоянии.

Пусть в начальном положении длина пружины равна l1 (рис. 6.13, а), а в конечном l2 (рис. 6.13, б) (l1 > l2). При сокращении пружины на Δl = l1 — l2 первое тело переместится на расстояние ΔlI, а второе на расстояние ΔlII (см. рис. 6.13, б), так что

Согласно формуле (6.6.5) работа силы упругости по перемещению первого тела равна:

Аналогично работа по перемещению второго тела

Учитывая, что ΔlI + ΔlII = l1 — l2, приходим к выводу: полная работа внутренних сил системы (сил упругости в данном случае) равна:

Выражение (6.6.7) нетрудно преобразовать к виду

где Δl1 = l1 — l, а Δl2 = l2 — l — деформация пружины в начальном и конечном состояниях(3).

Потенциальная энергия деформированной пружины

Формула (6.6.8) показывает, что работа силы упругости может быть представлена как изменение величины

взятое с противоположным знаком.

При сжатии (или растяжении) пружины

Величина Е в формуле (6.6.9) представляет собой потенциальную энергию тел, взаимодействующих посредством пружины.

Работа сил упругости зависит только от деформации пружины, определяемой начальной и конечной длиной пружины. От формы траектории тел, на которые действует пружина, работа А не зависит, подобно тому как не зависит от формы пути работа сил тяжести. Ведь при перемещении любого тела перпендикулярно оси пружины, когда ее длина не меняется, работа будет равна нулю, так как при этом сила перпендикулярна перемещению. Работа определяется разностью значений потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях.

Заметим, что потенциальная энергия, определяемая выражением (6.6.9), не зависит от свойств тел, которые связывает пружина. Эту энергию следует считать сконцентрированной в пружине.

Консервативные силы

Мы показали, что работа силы тяжести вблизи поверхности Земли и работа сил упругости растянутой пружины не зависят от формы траектории и могут быть представлены как изменения зависящей от координат величины — потенциальной энергии, взятые с противоположным знаком.

Читайте так же:
Как правильно хранить аккумуляторные батарейки

Этот результат оказывается справедливым не только для рассмотренных нами сил, но и для любых сил, зависящих от расстояний между телами, но не зависящих от их скоростей. Как мы скоро увидим, механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется в замкнутой системе лишь в том случае, когда в ней действуют силы, зависящие только от расстояния. Такие силы называются консервативными, т. е. сохраняющимися (вспомните: консервы). Системы, в которых действуют только эти силы, также называют консервативными.

Работа консервативных сил всегда может быть представлена как приращение потенциальной энергии, взятое с противоположным знаком:

Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством гравитационных сил

Возможные формы потенциальной энергии не исчерпываются выражениями (6.6.3) и (6.6.9). Так, потенциальная энергия двух тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил всемирного тяготения, в общем случае записывается так:

где G — гравитационная постоянная.

Чтобы обосновать справедливость формулы (6.6.12), решим обратную задачу. Докажем, что, взяв потенциальную энергию в виде (6.6.12), мы получим для силы взаимодействия точечных тел закон всемирного тяготения Ньютона.

Вычислим, используя формулу (6.6.12), работу по перемещению на малое расстояние |Δ| = г2 — г1 точечного тела массой m1 взаимодействующего с неподвижным точечным телом массой m2 (рис. 6.14).

Если |Δ| мало, то силу взаимодействия тел массами m1 и m2 можно считать постоянной. Работа в этом случае равна:

так как сила и перемещение направлены в противоположные стороны.

Подставляя в эту формулу значение потенциальной энергии (6.6.12), получим:

Если |Δ />| << r2 и |Δ />| << r2, то r1r2 ≈ r 2 .

Допустив, что потенциальная энергия имеет форму (6.6.12), мы пришли к правильному выражению для силы всемирного тяготения.

Можно показать, что выражение для потенциальной энергии Е p = mgh представляет собой частный случай формулы (6.6.12), когда изменение высоты h тела над поверхностью Земли много меньше ее радиуса R.

В самом деле, пусть начальная высота тела массой m над поверхностью Земли равна h1 а конечная — h2. Тогда согласно формулам (6.6.11) и (6.6.12) будем иметь:

Так как R >> h1 и R >> h2, то приближенно

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = G. Поэтому

и, следовательно, Еp = mgh.

Работа сил, зависящих только от расстояний между телами системы (но не от их скоростей), не зависит от формы траектории. Поэтому работу можно представить как разность значений некоторой функции, называемой потенциальной энергией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энергии зависит от характера действующих сил.

(1) Разумеется, это справедливо в системе отсчета, которая не перемещается вдоль оси Y.

(2) От латинского слова potentia — возможность.

(3) Это легко проверить, если произвести все действия в формулах (6.6.7) и (6.6.8) и сравнить результаты.

Потенциальная энергия

В предыдущем параграфе мы говорили о работе, которую может совершить тело за счет уменьшения своей скорости, а теперь нас будет интересовать работа, которую может совершить тело или система тел вследствие изменения положения тел.

Работа поднятого груза. Когда подвешенный на тросе груз равномерно движется вниз, он действует на трос силой, направленной тоже вниз (рис. 30.1).

Эта сила обусловлена силой тяжести: она совершает работу, действуя на груз, а груз совершает работу, действуя на трос.

Итак, благодаря действию силы тяжести груз может совершить работу при движении вниз.

Работа пружины. Когда деформация пружины уменьшается, пружина действует на тело силой упругости, направленной так же, как перемещение тела (рис. 30.2). При этом пружина совершает положительную работу.

Итак, деформированная пружина может совершить работу при возвращении в недеформированное состояние.

В рассмотренных примерах работу совершают силы тяготения и силы упругости. Как мы уже знаем, общая важная особенность этих сил состоит в том, что при движении по замкнутой траектории (когда тело возвращается в начальное положение) работа этих сил равна нулю. (Такие силы называют консервативными. Если между телами замкнутой системы действуют только консервативные силы, то, как мы увидим далее, механическая энергия системы сохраняется («консервируется»).)

Благодаря этому для системы тел, взаимодействующих посредством сил тяготения и упругости, можно определить потенциальную энергию как величину, характеризующую способность системы тел совершать работу и зависящую только от взаимного положения тел.

Потенциальная энергия системы тел характеризует ее способность совершать работу вследствие изменения взаимного положения взаимодействующих тел.

Если система тел совершает положительную работу, потенциальная энергия системы уменьшается. А если система тел совершает отрицательную работу, ее потенциальная энергия увеличивается. При этом

изменение потенциальной энергии системы тел равно работе сил упругости и тяготения, действующих со стороны тел системы, взятой со знаком минус:

Здесь Ep1 и Ep2 обозначают начальную и конечную потенциальную энергию системы тел.

(Мы приводим определение потенциальной энергии, применимое к механическим явлениям. В дальнейшем мы расширим и уточним это определение.)

? 1. Как изменяется потенциальная энергия системы «камень + Земля», когда камень движется вверх? вниз? Объясните свои ответы.

? 2. Как изменяется потенциальная энергия пружины, когда деформация уменьшается? увеличивается? Объясните свои ответы.

Нулевой уровень потенциальной энергии. Из формулы (1) следует, что физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии: оно измеряется работой, совершенной телами системы.

Поэтому нулевой уровень потенциальной энергии (состояние системы, которому сопоставляется нулевое значение потенциальной энергии) выбирают так, чтобы упростить расчеты.

2. Потенциальная энергия поднятого груза

Когда груз массой m равномерно перемещается вертикально вниз на расстояние h, он совершает положительную работу mgh, потому что он действует на опору или поднес направленной вниз силой (весом груза), равной силе тяжести.

Следовательно, при уменьшении высоты груза на h потенциальная энергия груза уменьшается на mgh. (Важно понимать, что это потенциальная энергия системы взаимодействующих тел – груза и Земли.) Если сопоставить нулевой уровень потенциальной энергии наинизшему положению груза, то

потенциальная энергия груза массой m, поднятого на высоту h, выражается формулой

Читайте так же:
Как выбрать робот пылесос с влажной уборкой

? 3. Брусок массой 200 г поднят на высоту 1 м над поверхностью стола высотой 80 см (рис. 30.3).


а) Чему равна потенциальная энергия бруска, если за нулевой уровень потенциальной энергии бруска принять уровень стола? уровень пола?
б) Чему равно изменение потенциальной энергии бруска при его падении на стол, если за нулевой уровень потенциальной энергии бруска принять уровень стола? уровень пола?

Эти примеры подтверждают, что имеет значение только изменение потенциальной энергии. Оно измеряется работой, совершенной телом или системой тел, и не зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии.

3. Потенциальная энергия упругой деформации

При возвращении в недеформированное состояние сила упругости пружины совершает положительную работу

При этом потенциальная энергия пружины уменьшается на такую же величину. Если нулевому уровню потенциальной энергии сопоставить состояние недеформированной пружины, то

потенциальная энергия деформированной пружины жесткостью k выражается формулой

где x – деформация пружины.

Потенциальную энергию, выражаемую формулой (3), называют также потенциальной энергией упругой деформации. Она зависит от квадрата деформации. Поэтому потенциальная энергия сжатой пружины равна потенциальной энергии растянутой пружины, если модуль деформации пружины в обоих случаях один и тот же.

? 4. В начальном состоянии пружина жесткостью 200 Н/м сжата на 1 см. Как изменилась потенциальная энергия пружины, если в конечном состоянии:
а) пружина не деформирована?
б) сжата на 2 см?
в) растянута на 1 см?
г) растянута на 2 см?

? 5. Шар массой 200 г подвешен к пружине жесткостью 100 Н/м и находится в равновесии, Шар поднимают так, чтобы пружина стала недеформированной, и отпускают без толчка.
а) На какую высоту подняли шар?
б) Как изменилась потенциальная энергия шара за время, в течение которого он возвращался в положение равновесия?
в) Как изменилась за то же время потенциальная энергия пружины?
г) Как изменилась за то же время потенциальная энергия системы «шар + Земля + пружина»?

Дополнительные вопросы и задания

6. С высоты 20 м над поверхностью земли свободно без начальной скорости падает камень массой 300 г. За нулевой уровень потенциальной энергии камня примите уровень земли.
а) Чему равна потенциальная энергия камня в начальный момент?
б) Чему равна потенциальная энергия камня через 1 с после начала движения?
в) Через какое время после начала движения потенциальная энергия камня уменьшилась в 2 раза по сравнению с ее начальным значением?

7. Шар массой 1 кг брошен с поверхности земли с начальной скоростью 20 м/с под углом 30º к горизонту. Считайте, что сопротивлением воздуха при движении шара можно пренебречь.
а) До какой максимальной высоты поднялся шар?
б) Как изменилась потенциальная энергия шара за время подъема?

8. По реке с постоянной скоростью плывет плот. Как изменяется со временем:
а) кинетическая энергия плота?
б) потенциальная энергия плота?

9. Когда сжатую пружину сжали еще на 2 см, ее потенциальная энергия увеличилась в 9 раз.
а) Во сколько раз модуль конечной деформации пружины больше, чем модуль начальной деформации?
б) Чему равен модуль начальной деформации пружины?

10. Две пружины жесткостью 100 Н/м и 400 Н/м соединены последовательно. Систему соединенных пружин растянули на 5 см.
а) Чему равна деформация более мягкой пружины?
б) Чему равна деформация более жесткой пружины?
в) Потенциальная энергия упругой деформации какой пружины больше, и во сколько раз?

Механическая энергия и ее виды

Механическое состояние тела характеризуется его координатой в некоторой системе отсчета и скоростью.

Соответственно, энергия, связанная с изменением координаты – падением мяча, подъемом груза, сжатием газа – называется потенциальной энергией. А энергия, связанная с изменением скорости – ускорением, торможением, изменение направления движения – называется кинетической энергией тела.

Потенциальной энергией обладает груз, поднятый над поверхностью Земли. При падении, действующая на груз сила тяжести совершит работу.

Потенциальной энергией также обладает растянутая или сжатая пружина. При возвращении в недеформированное состояние, действующая на пружину сила упругости совершит работу.

Примеры тел, обладающих потенциальной энергией

Падающее телоСжатая пружинаНатянутая тетива лука
Примеры тел, обладающих потенциальной энергиейПримеры тел, обладающих потенциальной энергиейПримеры тел, обладающих потенциальной энергией

Кинетической энергией обладает любое движущееся тело.

Чем больше скорость тела, тем больше его кинетическая энергия.

Примеры движения тел, обладающих кинетической энергией

Автомобиль едетРыба плыветСамолет летит
Примеры движения тел, обладающих кинетической энергиейПримеры движения тел, обладающих кинетической энергиейПримеры движения тел, обладающих кинетической энергией

п.2. Единицы измерения энергии

Когда тело совершает работу, его энергия уменьшается на величину, численно равную совершенной работе. Поэтому единица измерения энергии в СИ совпадает с единицей измерения работы.

Существует также множество внесистемных единиц для измерения энергии, например: эрг (1 эрг=10 -7 Дж), калория (1 кал=4,1868 Дж), киловатт-час (1 кВт·ч=3,6·10 5 Дж), электрон-вольт (1 эВ=1,6·10 -19 Дж) и др.

п.3. Теорема о кинетической энергии

Как известно, при равноускоренном движении перемещение s можно выразить формулой $ s=frac <2a>$ (см. Задача 3 §11 данного справочника).

Тогда работа силы, направление которой совпадает с направлением перемещения, равна $ A=Fs=macdot frac<2a>=frac<2>-frac <2>$

Введем величину $ E_k=frac <2>$ как выражение для кинетической энергии.

Теорема о кинетической энергии носит общий характер в механике и справедлива:

1) при действии нескольких сил на тело (тогда рассматривается работа равнодействующей всех сил);

2) при действии переменной силы;

3) при действии силы, не совпадающей по направлению с перемещением;

4) для любых по своей природе сил – упругости, трения, тяжести и т.п.

п.4. Понятие консервативных сил

Потенциальная энергия определяется взаимных положением тел (например, высотой над поверхностью Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для так называемых консервативных сил.

Понятие консервативных сил
Работа консервативной силы по перемещению тела из точки K в точку M по любому из трех путей одинакова, т.к. не зависит от пути, а зависит только от координат K и M.
Понятие консервативных сил
Если под действием консервативной силы тело начинает движение из точки K, перемещается по замкнутой траектории и возвращается в точку K, работа по перемещению тела равна 0

Свойством консервативности обладает сила тяжести и сила упругости. Для них можно ввести понятие потенциальной энергии.

Читайте так же:
Для чего предназначены конвейеры

Сила трения не обладает свойством консервативности – она является диссипативной силой (см. дальше §38 данного справочника). Работа силы трения зависит от пройденного пути. Поэтому для силы трения нельзя ввести понятие потенциальной энергии.

п.5. Потенциальная энергия и работа в поле силы тяжести

п.6. Потенциальная энергия упруго деформированного тела и работа силы упругости

п.7. Задачи

Задача 1. Как изменится кинетическая энергия автомобиля при увеличении его скорости в три раза?

Задача 2. Как изменится потенциальная энергия человека массой 80 кг при подъеме на воздушном шаре на высоту 300 м? Чему равна работа силы тяжести при подъеме?

Потенциальная энергия на поверхности Земли: begin E_=0 end Потенциальная энергия на высоте (h): $ E_=mgh $ Изменение потенциальной энергии: begin Delta E_p=E_-E_=mgh-0=mgh end Работа силы тяжести: begin A=-Delta E_p=-mgh end Получаем: begin Delta E_p=80cdot 10cdot 300=240000 (text<Дж>)=240 (text<кДж>)\[7pt] A=-Delta E_p=-240 (text<кДж>) end Ответ: 240 кДж; -240 кДж

Задача 3. Автомобиль массой 1700 кг разгоняется из состояния покоя до скорости 108 км/ч за 6 с. Чему равна полезная мощность двигателя автомобиля, которая затрачивается на увеличение кинетической энергии? Ответ выразите в ваттах, киловаттах и лошадиных силах.

Работа силы тяги равна разности кинетических энергий автомобиля: begin A=E_k-E_=frac<2>-frac<2>=frac<2>-0=frac <2>end Мощность двигателя begin N=frac At=frac <2t>end Получаем begin N=frac<1700cdot 30^2><2cdot 6>=127500 (text<Вт>)=127,5 (text<кВт>)\[6pt] 127500 text<Вт> =frac<127500><735,5> text <л.с.>approx 173 text <л.с.>end Ответ: 127500 Вт = 127,5 кВт ≈ 173 л.с.

Задача 4. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с, пробила деревянный щит толщиной 2 см и вылетела со скоростью 300 м/с. Чему равна работа силы сопротивления движению пули в щите и модуль среднего значения силы сопротивления?

Работа силы сопротивления равна разности кинетических энергий пули: begin A=frac<2>-frac<2>=frac m2(v^2_2-v^2_1)=frac m2(v_2-v_1)(v_2+v_1) end С другой стороны, работа равна произведению силы на перемещение: begin A=F_text<ср>sRightarrow F_text<ср>=frac As end Получаем begin A=frac<0,01><2>(300-500)(300+500)=-800 (text<Дж>) end Работа отрицательна, т.к. тормозящая сила сопротивления направлена противоположно перемещению. В результате кинетическая энергия уменьшается. begin F_text<ср>=frac<-800><0,02>=-40000 (text<Н>)=-40 (text<кН>)\[6pt] |F_text<ср>|=40 text <кН>end Ответ: -800 Дж; 40 кН

Задача 5. Медный и алюминиевый шары одинакового объема подняли на одинаковую высоту. Для какого шара изменение потенциальной энергии больше и во сколько раз?

Потенциальная энергия тела на высоте (h): begin E_p=mgh=rho Vgh end Потенциальная энергия на нулевом уровне: begin E_=0 end Изменение потенциальной энергии при подъеме: begin Delta E_p=E_p-E_=rho Vgh-0=rho Vgh end Отношение изменений потенциальных энергий для шаров: $ frac>>=frac=frac $ Изменение потенциальной энергии больше для более плотного медного шара. begin frac>>=frac<8930><2700>approx 3,3 (text<раз>) end Ответ: больше для медного шара в 3,3 раза

Задача 6. Чему равна потенциальная энергия растянутой пружины, если она растянута на 4 см и для удержания её в этом состоянии необходимо прикладывать силу 60 Н?

По закону Гука (см. §21 данного справочника) сила упругости, возникающая в растянутой пружине, равна: (F_text<упр>=kx), где (k) — жесткость пружины, (x) — величина деформации.
Сила, удерживающая пружину в растянутом состоянии, должна уравновешивать силу упругости, т.е. быть равной ей по величине (F=F_text<упр>=kx). По направлению эти силы противоположны: удерживающая сила растягивает пружину, сила упругости стремится вернуть её в исходное состояние.
Следовательно, жесткость пружины: begin k=frac Fx. end Потенциальная энергия растянутой пружины: begin E_p=frac<2>=frac Fxcdot frac<2>\[6pt] E_p=frac <2>end Получаем: begin E_p=frac<60cdot 0,04><2>=1,2 (text<Дж>) end Ответ: 1,2 Дж

Задача 7*. Какую работу необходимо совершить, чтобы поднять на цепи из колодца глубиной 30 м ведро с водой? Масса цепи 8 кг, масса ведра с водой 10 кг. Размерами ведра можно пренебречь.

Установим нулевой уровень (h=0) на дне колодца.
При подъеме на высоту (h) ведро массу не меняет и приобретает потенциальную энергию begin E_=Mgh end Работа силы тяжести при подъеме ведра (A’_text<в>=-Delta E_p=-Mgh). Работа силы тяжести отрицательна, т.к. направление силы тяжести (вниз) противоположно перемещению (вверх).
Работа сторонних сил (силы тяги) по преодолению силы тяжести (A_text<в>=-A’_text<в>=Mgh). Работа положительна, т.к. сила тяги направлена вверх.
С цепью немного сложней, т.к. масса цепи меняется при подъеме: в начале подъема она максимальна и равна (m=8 text<кг>), в конце подъема – минимальна и равна (m_0=0 text<кг>).
При равномерном подъеме средняя масса begin m_text<ср>=frac<2>=frac m2=4 text<кг>. end Тогда работа силы тяги по подъему цепи $ A_text<ц>=m_text<ср>gh=frac m2 gh. $ Получаем: begin A=A_text<в>+A_text<ц>=Mgh+frac m2 gh\[6pt] A=left(M+frac m2right)gh end Подставляем begin A=left(10+frac 82right)cdot 10cdot 30=4200 (text<Дж>)=4,2 (text<кДж>) end Ответ: 4,2 кДж

Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетическая и потенциальная энергияЧто такое потенциальная энергия — это энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного и того же упругого тела, называется потенциальной энергией.

В механике рассматривают два вида энергии — потенциальную и кинетическую. Потенциальная энергия —это энергия положения.

Примером потенциальной энергии могут служить: энергия поднятой гири в маятниковых часах, привязанного к нити тела, отклоненного от положения равновесия, воды у плотины гидростанции, а также энергия сжатой или растянутой пружины.

Поднимая тело равномерно на высоту Н , преодолеваем силу со противления, равную весу тела Р, и производим работу А — РН.

Мерой потенциальной энергии будет выполненная работа, поэтому

где Wn — потенциальная энергия. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, равна работе, затраченной на перемещение тела, с постоянной скоростью на эту высоту силой, равной весу тела.

Определение потенциальной энергии

Определим потенциальную энергию упруго-деформированной пружины (сжатой или растянутой). Сила, растягивающая пружину, совершает работу и увеличивает потенциальную энергию пружины. При этом, если растягивать пружину, то работа внешней силы будет равна увеличению потенциальной энергии пружины.

Читайте так же:
Вибрационная или эксцентриковая шлифовальная машина

Если пружина начнет сжиматься, то она совершит такую же работу, какую совершила внешняя сила при растягивании пружины. Как видим, работа при растягивании пружины равна А = (kx 2 )/2 , поэтому потенциальная энергия пружины, растянутой на величину х, будет равна

Wn = (kx 2 )/2

Эта энергия связана с наличием упругих деформаций в материале пружины. В этом случае потенциальная энергия представляет собой энергию упругой деформации.

Рассмотрим потенциальную энергию, обусловленную взаимным тяготением Земли и какого-либо тела массой т. Тело, поднятое на высоту Н над Землей, обладает потенциальной энергией

На первый взгляд кажется, что потенциальная энергия возрастает с увеличением высоты H , но нельзя забывать, что с увеличением высоты уменьшается ускорение свободного падения. Так как

g = γ(M/(R + H) 2 )

где М —масса Земли, R —радиус Земли. Поэтому возрастание потенциальной энергии с увеличением Я справедливо только при высотах, много меньших радиуса Земли (H « R). При высотах, соизмеримых с радиусом Земли и больше, ускорение свободного падения уменьшается быстрее, чем растет высота H , а потенциальная энергия убывает.

Предположим, что в результате взаимного притяжения два тела немного сблизились на расстояние r1r2, где r1 —расстояние между телами до их сближения, r2 —после сближения. При этом работа сближения, совершенная под действием силы тяготения F, будет равна

Но сила F = γ (m1m2/r2) — величина переменная, которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния ( F

1/r2). Поэто му, поскольку величина r изменяется, значение силы F следует взять в какой-то точке, средней между r1 и r2, то есть в точке rср

Но r1 и r2 можно выбрать мало отличающимися друг от друга, тогда можно считать, что r 2 ср = r1r2 и

Эта работа произведена за счет изменения энергии тяготения, то есть

Здесь W1 —начальное, W2 —конечное значения потенциальной энергии тяготения. Сопоставляя

находим конечное значение потенциальной энергии

Из этой формулы следует, что при очень больших значениях г потенциальная энергия W —0, поскольку при таких расстояниях притяжение ничтожно мало, то есть практически равно нулю. При сближении тел потенциальная энергия тел уменьшается за счет выполнения работы. Но какая-либо величина может уменьшаться от нуля только в отрицательную сторону, поэтому в формуле для W2 стоит знак «минус».

Таким образом, при r → ∞ потенциальная энергия тяготения W → 0, а по мере сближения она становится меньше 0, т. е. отрицательной. На поверхности Земли:

где R — радиус Земли, М — масса Земли. На высоте Н

WH = — γ(/R)+ mgH

Здесь при Н « R относительно поверхности Земли получим

тo есть отбрасываем постоянный член — С = — γ(/R) , условно считая его равным нулю.

Обычно нас интересует лишь разность энергии: так ею измеряется произведенная работа.

Кинетическая энергия

Что такое кинетическая энергия — это э нергия, связанная со скоростью движущегося тела, называется кинетической энергией. Обычно кинетическую энергию обозначают буквой WK. Кинетической энергией обладают все движущиеся тела.

Пусть на покоящееся тело действует постоянная по величине и направлению сила, тогда скорость, приобретаемая телом, будет возрастать. При этом сила, приложенная к телу, будет совершать положительную работу, так как перемещение тела совпадает по направлению с действующей силой. Если же на тело, обладающее начальной скоростью, начинает действовать сила, направленная противоположно скорости, то скорость тела уменьшается и тело совершает работу против этой силы.

Иначе говоря, сила совершает отрицательную работу, так как перемещение тела не совпадает с действующей силой. Тело будет способно совершать работу до тех пор, пока скорость его не станет равной 0. Таким образом, в результате работы внешней силы тело приобретает определенную скорость, а вместе с тем и определенный «запас работы», которую оно может совершить, теряя скорость. Этот «запас работы», которую тело может совершить, обладая некоторой скоростью, и есть кинетическая энергия тела.

Кинетическая энергия формула

Чтобы определить кинетическую энергию тела, необходимо подсчитать, какую работу может совершить тело, обладающее начальной скоростью υ. Эта работа равна

Силу F определяем по второму закону Ньютона F — та. Поскольку на тело действует постоянная сила, то движение тела будет равноускоренным, тогда

υ 2 — υ 2 = 2as

где υ —скорость тела в какой-то момент времени после начала действия силы. Отсюда s = (υ 2 — υ 2 )/2а. Подставляя значения F и s в выражение работы, получим

А = Fs = ma2 — υ 2 )/2а = (mυ 2 /2) — (mυ 2 /2)

Но работа действующей силы на пути s равна изменению кинетической энергии тела, поэтому

A =WK, или ∆WK = (mυ 2 /2) — (mυ 2 /2)

Если υ = 0, то

Wк = mυ 2 /2

alt=»Кинетическая энергия» width=»105″ height=»300″ />Рассмотрим полную энергию свободно падающего тела. Пусть тело массой m поднято на высоту Н (рис. 2), Если тело отпустить, то оно будет свободно падать (сопротивление воздуха не учитыва ем). По мере приближения к поверхности Земли потенциальная энергия тела будет уменьшаться, кинетическая с увеличением скорости — возрастать. Сумму потенциальной и кинетической энергии называют полной энергией тела.

Подсчитаем полную энергию в точках А, В и С. В точке A υ = 0, поэтому кинетическая энергия WK равна нулю, а потенциальная энергия

Wполн = W пA + Wк A = mgH + 0 = mgH.

В точке С тело обладает и потенциальной, и кинетической энергией; оба вида энергии не равны нулю

где υc —скорость тела, приобретенная при свободном

падении от точки А до точки С, υ 2 c = 2 gh. Подставляя это значение в предыдущее выражение, получим

Wполн = mgH — mgh + mgh = mgH.

Энергия (mgh) со знаком минус означает убыль потенциальной энергии, а энергия (mgh) со знаком плюс означает прирост кинетической энергии. В точке В потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая в момент падения тела на землю

Тогда полная энергия свободно -падающего тела

Wполн = WпB + WKB = 0 + ((mυ 2 в)/2) = (m2gH)/2 = mgH.

Читайте так же:
Зажимы для тонких проводов

При свободном падении полная энергия падающего тела остается неизменной. При всех чисто механических процессах, когда не учитывается трение, энергия не исчезает, она только переходит из одного вида в другой

Следовательно, полная энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть закон сохранения механической энергии.

Если тело падает в среде, создающей сопротивление движению, то потенциальная энергия не полностью переходит в кинетическую, а часть ее преобразуется в тепловую энергию. Мерой этого превращения является работа. Тогда

где Ас —работа против сил сопротивления среды.

Что такое удар или соударение

Это любое кратковременное взаимодействие тел называется ударом.

Когда тело брошено вертикально вверх, кинетическая энергия больше потенциальной на величину работы, которая затрачивается на преодоление сил сопротивления среды

В повседневной жизни в технике приходится встречаться с явлением соударения тел, когда тела при взаимодействии непосредственно касаются друг друга.

В физике соударение, или удар, понимают в более широком смысле. При этом не обязательно, чтобы тела касались друг друга. Так, например, говорят о соударении молекул, хотя они взаимодействуют, находясь на достаточно большом расстоянии друг от друга (по сравнению с размерами молекул), и это взаимодействие осуществляется посредством электрического поля.

Удар называют центральным, если скорости соударяющихся тел направлены по прямой, соединяющей центры тяжести этих тел. При ударе в зависимости от свойств вещества, из которого состоят тела (медь, свинец, сталь, слоновая кость), определенная часть энергии выделяется в виде теплоты. Тело при этом испытывает деформацию.

Особым случаем удара является идеализированный случай абсолютно упругого соударения тел, при котором энергия движения не переходит в тепловую энергию. Тогда сохраняется вся механическая энергия системы. Другим идеализированным случаем удара является абсолютно неупругий удар. При этом ударе тела испытывают пластическую деформацию, и часть энергии движения переходит в тепловую энергию.

При абсолютно упругом ударе соблюдается закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии

где m1 и m2 —массы соударяющихся тел, υ 1 и υ2 —скорости этих тел до удара, а u1 и u2 —их скорости после удара.

При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия движутся с одинаковой скоростью (как одно целое). Сумма кинетической энергии до удара больше суммы кинетической энергии этих тел после удара на величину работы, которая идет на деформацию тел и выделяется в виде тепла.

Таким образом, при абсолютно неупругом ударе соблюдается закон сохранения импульса тела, а закон сохранения кинетической энергии не соблюдается. Законы сохранения энергии и сохранения импульса для абсолютно неупругого удара можно записать следующим образом:

где А — работа, совершаемая при деформации тел.

m1υ1 + m2υ2 = (m1 + m2) и, где u — общая скорость движения тел после удара.

Пример решения задачи

1. Две тележки расталкиваются взрывом порохового заряда, помещенного между ними. Тележка массой 100 г проходит путь 1,8 м и останавливается. Какой путь пройдет вторая тележка массой 300 г? Коэффициент трения между землей и тележками одинаков и равен k.

Дано m1 = 100 г = 0,1 кг, s1 = 1,8 м, m2 = 300 г = 0,3 кг.

Решение

Для решения задачи используем закон сохранения импульса. До взрыва сумма импульсов тележек равнялась нулю, после взрыва

После взрыва первая и вторая тележки получили запас кинетической энергии. Кинетическая энергия пошла на работу по преодолению трения, тогда закон сохранения энергии можно записать для первой тележки

для второй тележки

Поделив эти два равенства, получим

Решая совместно (1) и (2), получим

s2 = m 2 1s1/m 2 2, s2 = (0,01 кг • 1,8 м)/0,09 кг 2 = 0,2 м.

Потенциальная энергия

Кинетическая энергия — это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Потенциальная энергия

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными.

Примеры консервативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу.

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h 1 в точку с высотой h 2 .

Потенциальная энергия

При этом сила тяжести совершила работу, равную

A = — m g ( h 2 — h 1 ) = — ( m g h 2 — m g h 1 ) .

Эта работа равна изменению величины m g h , взятому с противоположным знаком.

Величина Е П = m g h — потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A = — ( E П 2 — E П 1 ) .

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

Здесь G — гравитационная постоянная, M — масса Земли.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника

Дифуравнения пружинного маятника

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector